能量量子化
无限深方形阱
研究重点：能量量子化\(\,\,\)波函数
\[
V(x) =
\begin{cases}
0, & \text{对于} \ 0\leq x \leq L, \\
+\infty, & \text{其它}.
\end{cases}
\]
推导
\[
\hat{H}|\psi\rangle=E|\psi\rangle \\
\]
\[
-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\text d}^2|\psi\rangle}{{\text d}x^2}=E|\psi\rangle
\tag{1}
\]
\[
代入x=0的边界条件{\text (}确定是 \sin {\text ):}\,
|\psi\rangle=\sin kx\,,\,k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
\]
\[
代入x=L的边界条件{\text :}\,kL=n\pi\,\Rightarrow\,k=\frac{n\pi}{L}
\]
\[
归一化后\, |\psi\rangle=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi}{L}x
\]
\[
由{\text (}1{\text )}式\,能量E可由n表示{\text :}E=\frac{\hbar ^2k^2}{2m}=\frac{\hbar ^2\pi ^2}{2mL^2}\,n^2
\]
结论
\[
E=\frac{{\hbar}^2 {\pi}^2}{2mL^2}\,n^2
\]
\[
\phi (x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi}{L}\,x
\]
说明：\(n\)为整数\(，\)故能量量子化。组成波函数的固有向量见上。
有限深方形阱
研究重点：能量量子化
\[
V(x) =
\begin{cases}
-V_0, & \text{对于} \ |x| \leq a, \\
0, & \text{对于} \ |x| > a.
\end{cases}
\]
hint1
能量大于势能，能量小于势能，分别的波函数形式为何
hint2
如何化简六个参数的分段波函数
hint3
化简有两步
hint4
在两种情况下 分别代入边界条件
hint5
边界条件只需要代入一侧的就可以了
（偶对称时显然，奇对称时猜测也成立,验证后确实成立）
hint6
变量代换
hint7
\(\lambda\) 对应\(V_0\,\,\) \(z\)对应\(|E|\)
推导
\[
\begin{cases}
B_1e^{\rho x}+B_2e^{-\rho x} & x\leq-a \\
A_1e^{ikx} +A_2e^{-ikx} & -a < x < a \\
B_1^{'}e^{\rho x}+B_2^{'}e^{-\rho x}& x \geq a \\
\end{cases}
\]
aha moment
无限远的边界条件 可消去两项
由对称结构 可进一步简化中间的波函数\(\sin\)或\(\cos\)形式
结论
\[
\left\{
\begin{aligned}
&y^2+z^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2}a^2={\lambda}^2 \\
&y\tan y=z\,或\,-y\cot y=z
\end{aligned}
\right.
\]
\(其中，y=ka,\ \ k=\frac{\sqrt{2m(V_0-|E|)}}{\hbar}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z=\rho a,\ \ \rho=\frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}\)
说明：根据方程组\(，y\)和\(z\)只能取离散的几个值\(，\)并且\(z\)通过\(\rho\)对应该状态下的能量\(。\)因此能量（束缚能）量子化\(。\)
例题
有一电子被局限在宽度为\(6\)Å、深度为\(1eV\)的有限深方形阱中，请问该系统可能发射出哪些频率的光线
思路
\(1.a\)
\(2.V_0\rightarrow \lambda\)
\(3.y^2+z^2={\lambda}^2\,\,\,\,\,\,z=y\tan y\,或z=-y\cot y\)
\(\,\,\,\,\Rightarrow z的两个解\)
4.\(每一个z对应的能量\text{：}|E|=\frac{\hbar ^2}{2ma^2}z^2\)
5.\(能量差\text{：}\Delta E=|E_1-E_2|\)
\(6.最后再转化为频率\)
解答
位能障碍
研究重点：穿透率\(\,\,\)波函数结构
aha moment
聚焦研究的对象：穿透率
先用共振的情况求出一般解
再代入\(\rho_2=ik_2\) 类比出隧穿的解
最后近似来简化
推导
暂无
结论
\[
T={|\frac{A_3}{A_1}|}^2=\frac{1}{1+\frac{1}{4}\frac{{V_0}^2}{E(V_0-E)}{\sinh}^2(\rho l)}
\]
\[
近似\Rightarrow T\propto e^{-2\rho l}
\]
应用：预测半衰期
aha moment
1.电子在原子核外的势能分布近似为方形的位能障碍
2.原子物理常用的数量级估计 估计\(\alpha\)粒子出现在位能障碍边缘时的频率\(f\)
思路
1.求出穿透率\(\,T\)
2.单位时间衰变概率\(\,p\)
3.通过\(\,p\,\)求出数量随时间的变化函数\(\,N(t)\)
4.根据\(\,N(t)\,\)提取平均寿命、半衰期等信息
引理：经典指数衰变
\[t时刻\text{：}\,N(t)\]
\[t+dt时刻\text{：}\,N(t)(1-pdt)\]
\[
\begin{align*}
dN(t)&=-pN(t)dt\\
\frac{dN(t)}{N}&=-pdt\\
\ln N(t)-\ln N_0&=-pt\\
N(t)&=N_0e^{-pt}
\end{align*}
\]
下求平均寿命
\[
t时刻的衰变的粒子数\text{：}pN_0e^{-pt}
\]
\[
\begin{align*}
\tau&=\int_0^{+\infty}\frac{pN_0e^{-pt}}{N_0}t\,\text{d}t\\
&=\frac 1 p\int_0^{+\infty}(pt)e^{-pt}\text{d}(pt)\\
&=\frac 1 p
\end{align*}
\]
下求半衰期
\[
e^{-pt}=\frac 1 2
\]
\[
\Rightarrow t_{1/2}=\frac 1 p\ln 2=\tau \ln 2
\]
解答
简谐振子
研究重点：能量量子化
\[
V(x)=\frac 1 2kx^2=\frac 1 2m\omega ^2x^2
\]
推导
略显复杂www
启示
下学期需要学一下数学物理方法
结论
\[
E=(n+\frac 1 2)\hbar \omega
\]
\[
\phi _n(x)=\sqrt{\frac{{(m\omega / \hbar)}^{1/2}}{\sqrt{\pi}\,2^n\,n!}}\,e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\,H_n(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x)
\]
\(其中，H_n(x)为Hemite多项式\)
说明：\(n\)为整数\(，\)故能量量子化。
直观图
