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数学基础与量子公设

数学基本定理

  • （平均）若\(\,V\,\)为有限维空间\(，\)则在\(\,V\,\)上任一厄米运算子的固有向量，恒可作为空间\(\,V\,\)的基底
  • （对易）两厄米运算子\(\hat{A}，\hat{B}，\)若\(\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}，\)则它们可同时被对角化

量子力学基本公设

  • 状态为向量元素
  • 物理量为运算子
  • 测量值为固有值
  • 测量值的概率
  • 测量后的新状态
  • 状态的运动方程式

物理量对应的运算子推导

以动量算符为例：

启示

傅里叶变换
本题涉及的数学基础 物理基础不够扎实

三个引理

1.\(\langle p|\phi\rangle =\phi (p)\)
2.\(\langle x|p\rangle =\frac 1 {\sqrt{2\pi \hbar}}e^{i\frac{p}{\hbar}x}\)
3.\(\phi (x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)e^{ipx/\hbar}\text{d}p\)

\[ \begin{align*} \hat{P}\phi(x)&=\hat P\langle x|\phi\rangle\\ &={\hat P}^+\langle x|\phi\rangle\\ &=\langle x|{\hat P}^+|\phi \rangle\\ &=\langle x|{\hat P}|\phi \rangle\\ &\overset{插入基}=\int_{-\infty}^{+\infty}\langle x|\hat P|p\rangle \langle p|\phi \rangle \text{d}p\\ &\overset{引理1}=\int_{-\infty}^{+\infty}p\langle x|p\rangle \phi (p) \text{d}p\\ &\overset{引理2}=\frac 1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}p\phi(p)e^{ipx/{\hbar}}\text{d}p\\ &=\frac{\hbar}{i}\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac 1 {\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)e^{ipx/\hbar}\text{d}p)\\ &\overset{引理3}=-i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}x}\phi (x) \end{align*} \]
\[ \Rightarrow \boldsymbol{\hat{P}=-i\hbar\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}} \]

例题1

若质量为\(\,m\,\)的质点\(，\)自由运动在长度为\(\,L\,\)的范围内\(。\)在\(\,t=0\,\)时\(，\)状态由

\[ \psi(x,0)=\sqrt{\frac{2}{5L}}(\sin\frac{2\pi}{L}x+2\sin\frac{\pi}{L}x) \]

所描述\(，\)求\(：\)
\((1)\)在任意时间\(\,t\,，\)质点所处的状态为何?
\((2)\)在时间\(\,t\,，\)测得能量为基态与第一激发态的概率分别是多少？
\((3)\)在时间\(\,t\,，\)测得质点能量的期望值与平均值分别是多少？

公设3\(\,\Rightarrow\,\)所处状态为固有向量的线性组合\(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin kx\)以及公设6\(\,\Rightarrow\,\)找出系数、固有向量、能量
公设4\(\,\Rightarrow\,\)概率为对应系数模长平方
数学基本定理1\(\,\Rightarrow\,\)均值求解

例题2

公设4的特殊情况

体会与经典力学思维方式的显著差异

\[ \hat{L_x}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ \end{pmatrix},\hat{L_y}=\begin{pmatrix} 0&-i&0 \\ i&0&i \\ 0&i&0 \\ \end{pmatrix},\hat{L_z}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ \end{pmatrix} \]

\((5)\)在\(\,\hat{L_z}\,\)基底下，有一状态\(\,\)|\(\psi\rangle\)=\(\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ \end{pmatrix}\,\)在此状态上进行\(\,\hat{L_z}^2\,\)之测量\(，\)获得的结果为\(\,1\,，\)则测量后的状态为何？获得结果的可能性为何？

公设5\(\,\Rightarrow\,\)经过测量\(，\)状态变为测量值对应的固有向量
公设4的特殊情况（两个固有向量对应的固有值相同）\(\,\Rightarrow\,\)概率相加
在此情况下\(,\)公设5中的固有向量应理解为该固有值对应的多个固有向量的线性组合\(，\)归一化后系数平方应为该固有向量（由公设1，即状态）出现的概率

零碎知识

  • 常见的Hilbert空间：函数空间、矩阵空间
  • 变换基底\(：\)\([T]_b=P^{-1}_{e\rightarrow b}[T]_eP_{e\rightarrow b}\)
  • 规范正交基下矩阵元的求解\(：t_{ij}=\langle b_i|T|b_j\rangle\)