L3

Spins

\[ \begin{align*} |\psi\rangle&=\alpha |0\rangle+\beta|1\rangle\\ &=\cos (\frac{\theta}{2})|0\rangle+e^{i\phi}\sin (\frac{\theta}{2})|1\rangle \end{align*} \]

说明：Bloch球，且球面上一个点对应一个态

Linear Operators

如何表示仪器的测量？

\[ \begin{align*} &M|a\rangle=|b\rangle \rightarrow \langle a|M|a\rangle=\langle a|b\rangle \\ \Rightarrow \,&\langle a|M^+=\langle b| \\ \overset{厄米}\Rightarrow &\langle a|M=\langle b| \rightarrow \langle a|M|a\rangle=\langle b|a\rangle\\ &得\text{：}\langle a|M|a\rangle is\,\,real \end{align*} \]

\[ M|\lambda\rangle=\lambda |\lambda\rangle \]

\[ \Rightarrow \langle \lambda|M|\lambda\rangle = \lambda \,\,is\,\,real \]

已知固有值和固有向量，求出测量矩阵

Example

\[ |h\rangle测量值为1\text{，}|v\rangle测量值为-1 \]

$$ 投影思想，得测量矩阵\,|h\rangle\langle h|-|v\rangle\langle v| $$ 之前存在疑问是因为：bra没有取共轭