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为什么会引入复数

这是课后我思考很久的一个问题
得到的确切的结论是：从两个相差特定相位的偏振态出发，用复数表示后，可以保留关键的两个信息：1.振幅 2.相位差。进而得到偏振态用狄拉克符号的写法。至于为什么严格成立，不是很清楚。

狄拉克符号下的投影及拓展

\[ |\alpha\rangle=\sum_i a_i|i\rangle \]

若\(|i\rangle\)为一组规范正交基，则：

\[ \langle i|\alpha\rangle=\sum_j a_j\langle i|j\rangle=a_i \]

\[ \begin{align*} \Rightarrow |\alpha\rangle&=\sum_i \langle i|\alpha\rangle |i\rangle\\ &=\sum_i |i\rangle \langle i|\alpha\rangle\\ \end{align*} \]

结论： $$ I=\sum_i |i\rangle \langle i| $$

\[ P_i=|i\rangle\langle i| \]

BB84量子密钥分发协议

目标

Alice和Bob通过该方法 彼此得到一个一次性的可靠的密钥

操作

(1)Alice先选出一串01串，记为\(\,S_1\)
(2)Alice随机使用两种base模式的一种，然后根据01串逐位发送当前base模式下对应的基矢
(3)Bob随机用两种base模式的一种接受Alice发来的01串，记为\(\,S_2\)
由此，量子信道结束，以下使用传统信道交流的
(4)Bob把自己的测量方法告诉Alice
(5)Alice把正确的接收器位置告诉Bob
(6)Bob在上述正确的位置中所接收到的数据随机发若干位给Alice进行校验

校验的目的

理论上，如果Alice和Bob在同一位用了同一个基，则得到的结果必然相同。如果不同，可以认为通讯中有人窃听。

(7)验证通过后，则双方都采用正确位置且没有由Bob发给Alice的那几位作为密钥

防御思路

选择的基底模式和数据分开，导致真实的数据只有在第六步校验时泄露一部分以及在第二步传输过程中，黑客恰好用同样的基底才能确保不被暴露。但是后者可能性实在是太小了，因为传输的位数可能非常多。如果要窃听且不暴露，则基底每次都要对