量子力学基础
两个物理实验¶
Stern-Gerlach实验¶
内容¶
将原子束通过非均匀磁场，观察原子在磁场中的偏转情况，从而研究原子的磁矩和自旋
现象¶
解释¶
通过磁场\(B\)测量的电子自旋方向应为磁场对应的基状态。如：经过\(y\)方向的磁场测量\(，\)电子自旋为\(|+\rangle_y\)和\(|-\rangle_y\)
意义¶
（1）验证了原子磁矩的量子化
（2）量子态测量会导致波函数的坍缩
杨氏双缝实验¶
解释的第一阶段¶
波动方程：干涉相长，干涉相消
解释的第二阶段¶
降低光的强度，最终一次只发射一个光子。一开始我们只会观察到几个撞击点，而不是干涉图案。但是当曝光时间足够长之后，干涉图案又会出现。
\[
E(x)=E_1(x)+E_2(x)
\]
\[
I(x)\propto|E(x)|^2={|E_1(x)+E_2(x)|}^2
\]
\[
\Rightarrow I(x)\neq I_1(x)+I_2(x)
\]
存疑
感觉没有完全理解
量子计算中涉及的高频基础知识点¶
泡利矩阵¶
出现在泡利方程中描述磁场和自旋之间的相互作用
\[
\sigma_x=\left[
\begin{matrix}
0&1\\
1&0
\end{matrix}
\right]
,
\sigma_y=\left[
\begin{matrix}
0&-i\\
i&0
\end{matrix}
\right]
,\sigma_z=\left[
\begin{matrix}
1&0\\
0&-1
\end{matrix}
\right]
\]
\[
\overset{一般情况}\Rightarrow
\sigma_u=\sigma \cdot u=\sigma_x \sin \theta\cos\phi+\sigma_y\sin\theta\sin\phi+\sigma_z\cos\theta
\]
\[
\sigma_u=
\left[
\begin{matrix}
\cos \theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{matrix}
\right]
\]
\[
|+\rangle_u=\cos \frac{\theta}{2}e^{-i\phi/2}|0\rangle+\sin \frac{\theta}{2}e^{i\phi/2}|1\rangle
\]
\[
|-\rangle_u=-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi/2}|0\rangle+\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi/2}|1\rangle
\]
张量积¶
\[
A=\left[
\begin{matrix}
A_{11}&A_{12}\\
A_{21}&A_{22}
\end{matrix}
\right]
,
B=\left[
\begin{matrix}
B_{11}&B_{12}\\
B_{21}&B_{22}
\end{matrix}
\right]
\]
\[
A\otimes B=
\left[
\begin{matrix}
A_{11}B&A_{12}B\\
A_{21}B&A_{22}B
\end{matrix}
\right]
\]
例题：
\[
\sigma_x \otimes \sigma_y=
\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{pmatrix}
\]
标准偏差¶
\[
\Delta A=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2
\]
\[
\Rightarrow 海森伯不确定性原理
\]
海森伯不确定性原理
给定两个不对易的可观测量\(A\)和\(B，\)对于同时测量\(A\)和\(B\)的精度而言，存在一个内在的极限
EPR佯谬和贝尔不等式¶
纠缠现象¶
\[
可分离的\text{:}\,\,|\psi\rangle=|\alpha\rangle_1\otimes|\beta\rangle_2
\]
\[
纠缠的\text{:}\,\,|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)
\]
EPR佯谬¶
铺垫
1.实在性原则：物理属性独立于观测存在
特别说明：量子力学中，A、B不对易，两物理量不可能同时具有实在性
2.局域性原则：物理作用不能以超光速传播，两个空间分离的物体无法瞬间影响彼此
逻辑
通过两个显然的原则假设，用量子力学对某一现象进行解释，从而找出与原则假设矛盾的点，想说明量子力学理论不完善。
漏洞所在
量子纠缠的核心特征：非定域性
发射一对自旋为\(\frac 1 2\)的处于纠缠态的粒子：
\[
|\psi\rangle=\frac 1 {\sqrt 2}(|01\rangle-|10\rangle)
\]
\[
|\psi\rangle=\frac 1 {\sqrt 2}(|+-\rangle+|-+\rangle)
\]
\[
其中，|+\rangle=\frac 1 {\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)和|-\rangle=-\frac 1 {\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)
\]
贝尔不等式¶
贝尔不等式的建立
形式不固定
根据实在性原则和局域性原则构建的不等式
情形一¶
| 分布数 | Alice的粒子 | Bob的粒子 |
|---|---|---|
| \(N_1\) | \((a+,b+,c+)\) | \((a-,b-,c-)\) |
| \(N_2\) | \((a+,b+,c-)\) | \((a-,b-,c+)\) |
| \(N_3\) | \((a+,b-,c+)\) | \((a-,b+,c-)\) |
| \(N_4\) | \((a+,b-,c-)\) | \((a-,b+,c+)\) |
| \(N_5\) | \((a-,b+,c+)\) | \((a+,b-,c-)\) |
| \(N_6\) | \((a-,b+,c-)\) | \((a+,b-,c+)\) |
| \(N_7\) | \((a-,b-,c+)\) | \((a+,b+,c-)\) |
| \(N_8\) | \((a-,b-,c-)\) | \((a+,b+,c+)\) |
\[
p(a+,b+)=\frac{N_3+N_4}{N_t}
\]
\[
p(a+,c+)=\frac{N_2+N_4}{N_t}
\]
\[
p(c+,b+)=\frac{N_3+N_7}{N_t}
\]
\[
\Rightarrow p(a+,b+)\leq p(a+,c+)+p(c+,b+)
\]
情形二¶
\[
\langle O\rangle=\int O(\lambda)\rho(\lambda)\rm d\lambda
\]
\[
C(a,b)=\int A(a,\lambda)B(b,\lambda)\rho(\lambda)\rm d\lambda
\]
\[
\begin{align*}
C(a,b)-C(a,b^\prime)&=\int[A(a,\lambda)B(b,\lambda)-A(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda)]\rho(\lambda)\rm d \lambda\\
&=\int A(a,\lambda)B(b,\lambda)[1\pm A(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda)]\rho(\lambda)\rm d\lambda-\int A(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda)[1\pm A(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda)]\rho(\lambda)\rm d\lambda
\end{align*}
\]
\(|A(a,\lambda)|=1,\,\,|B(b,\lambda)|=1\)
\[
\begin{align*}
|C(a,b)-C(a,b^\prime)|\leq \int[1\pm A(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda)]\rho(\lambda)\rm d\lambda+\int [1\pm A(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda)]\rho(\lambda)\rm d\lambda
\end{align*}
\]
\[
|C(a,b)-C(a,b^\prime)|\leq\rm[C(a^\prime,b^\prime)+C(a^\prime,b)]+2\int \rho(\lambda)\rm d\lambda
\]
\[
|C(a,b)-C(a,b^\prime)|\leq-|C(a^\prime,b^\prime)+C(a^\prime,b)|+2\int \rho(\lambda)\rm d\lambda
\]
\[
\Rightarrow |C(a,b)-C(a,b^\prime)|+|C(a^\prime,b^\prime)+C(a^\prime,b)|\leq 2
\]
应用贝尔不等式
量子理论解释现象违反贝尔不等式
情形一¶
\[
|_b\langle +|-\rangle _a|^2=\sin^2(\theta_{ab}/2)
\]
\[
\Rightarrow p(a+,b+)=\frac 1 2 \sin^2(\frac{\theta_{ab}}{2})
\]
\[
结合情形一下的贝尔不等式，有\text{:}
\]
\[
\sin^2(\frac{\theta_{ab}}{2})\leq \sin^2(\frac{\theta_{ac}}{2})+\sin^2(\frac{\theta_{bc}}{2})
\]
\(取a轴,b轴,c轴,使得\theta_{ab}=2\theta,\theta_{ac}=\theta_{cb}=\theta,对于0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}，此时不等式是不成立的\)
情形二¶
\(C(a,b)_{quantum}=\langle\psi|(\sigma^{(A)}\cdot a)(\sigma^{(B)}\cdot b)|\psi\rangle=-a\cdot b\)
\[
\begin{align*}
&\,\,\,\,\,\lbrace|C(a,b)-C(a,b^\prime)|+|C(a^\prime,b)+C(a^\prime,b^\prime)|\rbrace_{quantum}\\
&=|-\cos(\phi)+\cos(3\phi)|+|-\cos(\phi)-\cos(\phi)|\\
&=2\sqrt 2\geq2
\end{align*}
\]
\(取a,b,a^\prime,b^\prime分别相隔\frac{\pi}{4}\)