质点动力学
动量 角动量 能量的形式¶
一切从牛顿第二定律出发 $$ m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t) $$
动量¶
\[
\mathbf{p}=m\mathbf{v}
\]
\[
\begin{align*}
\dot{\mathbf{p}}&=\dot{m}\mathbf{v}+m\dot{\mathbf{v}}\\
&=m\ddot{\mathbf{r}}\\
&=\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)
\end{align*}
\]
\[
\Rightarrow {\rm d}\mathbf{p}=\mathbf{F}{\rm d}t
\]
\[
\mathbf{p_2}-\mathbf{p_1}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}{\rm d}t
\]
解释
冲量定理。等式左边为状态，等式右边为过程量
角动量¶
力矩：\(\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\)
角动量：\(\mathbf{J}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\)
\[
\begin{align*}
\dot{\mathbf{J}}&=\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{p}}\\
&=\dot{\mathbf{r}}\times m\dot{\mathbf{r}}+\mathbf{r}\times\mathbf{F}\\
&=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\\
&=\mathbf{M}
\end{align*}
\]
叉乘的求导
$$ \frac{d}{dt} (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \frac{d\mathbf{A}}{dt} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \frac{d\mathbf{B}}{dt} $$ 证明思路：行列式一行一行来，凑一下。发现此时刚好一致
动能¶
\[
T=\frac 1 2 m{\mathbf{v}}^2
\]
\[
\begin{align*}
\dot{T}&=m\dot{\mathbf{v}}\cdot\dot{\mathbf{v}}\\
&=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\\
&=\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}}\,\,\text{(功率)}
\end{align*}
\]
矢量分析回顾¶
讨论范围：保守力场
基本盘¶
\[
\begin{align*}
\nabla=\,\,&\partial_1 \hat{e_1}+\partial_2 \hat{e_2}+\partial_3 \hat{e_3}\\
=\,\,&\partial_i\hat{e_i}\text{（爱因斯坦求和约定）}
\end{align*}
\]
Levi-Civita symbol\(\,\,\epsilon_{ijk}\)
\[
\epsilon_{ijk}=
\begin{cases}
1 & \text{偶置换} \\
-1 & \text{奇置换} \\
0 & \text{有相同下标}\\
\end{cases}
\]
应用¶
\[
\hat{e_i}\times\hat{e_j}=\epsilon_{ijk}\hat{e_k}
\]
\[
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\epsilon_{ijk}a_ib_j\hat{e_k}
\]
梯度：\(\nabla V=\partial_i V\hat{e_i}\)
旋度：\(\nabla \times \mathbf{F}=\epsilon_{ijk}\partial_i F_j\hat{e_k}\)
定理：如果\(\,\nabla\times\mathbf{F}=0\,\)，则存在标量\(V\)，使得\(\mathbf{F}=-\nabla V\)，反之亦成立
斯托克斯定理
\[
\oint \mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\iint(\nabla\times\mathbf{F}){\rm d}\mathbf{s}
\]
证明
(1)必要性：\(\mathbf{F}=-\nabla V\)，则\(\nabla\times\mathbf{F}=0\)
\[
\begin{align*}
\nabla\times\mathbf{F}&=-\nabla\times(\nabla V)\\
&=-\partial_i\hat{e_i}\times\partial_j V\hat{e_j}\\
&=-\epsilon_{ijk}\partial_i (\partial_j V)\hat{e_k}
\tag{1}\\
&=-\epsilon_{ijk}\partial_j \partial_i V\hat{e_k}\\
&=\epsilon_{jik}\partial_j \partial_i V\hat{e_k}
\tag{2}
\end{align*}
\]
\[
(1)式与(2)式是等价应相等，且又为相反数，所以都是0
\]
(2)充分性：\(\nabla\times\mathbf{F}=0\)，则\(\mathbf{F}=-\nabla V\)
\[
\overset{stokes}\Rightarrow 任何路径下\text{:}\int_0^{\mathbf{r}'}\mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{r}都相等
\]
\[
\begin{align*}
\int_0^{\mathbf{r}'}\mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{r}&=\int_0^{\mathbf{r}'}{\rm d}(U(\mathbf{r}))\\
&=\int_0^{\mathbf{r}'}\frac{\partial U}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial U}{\partial y}{\rm d}y+\frac{\partial U}{\partial z}{\rm d}z\\
&=\int_0^{\mathbf{r}'}\nabla U\cdot {\rm d}\mathbf{r}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\Rightarrow \int_0^{\mathbf{r}'}(\mathbf{F}-\nabla U){\rm d}\mathbf{r}=0\\
&\Rightarrow \mathbf{F}=\nabla U\\
&\Rightarrow \mathbf{F}=-\nabla V\,,\,其中\,U=-V
\end{align*}
\]
机械能守恒 \(T+V\)¶
\[
\begin{align*}
{\rm d}T&=\mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{r}\\
&=-\nabla V\cdot{\rm d}\mathbf{r}\\
&=-\partial_iV\hat{e_i}\cdot{\rm d}x_j\hat{e_j}\\
&=-\partial_iV{\rm d}x_i\\
&=-{\rm d}V
\end{align*}
\]
\[
\Rightarrow {\rm d}(T+V)=0
\]
不同坐标系视角下的牛顿定律形式¶
思路
写出基底与自然基底的关系
用基底和一些基本公式表示坐标、动量、角动量、牛顿定律等物理量
从得到的式子看看能不能得出我们熟悉的结论，如：角动量守恒
直角坐标系¶
\[
\mathbf{r}=x_k\hat{e_k}
\]
\[
\dot{\hat{e_k}}=0
\]
\[
\mathbf{p}=m\dot{x_k}\hat{e_k}
\]
\[
\mathbf{J}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}=\epsilon_{ijk}x_ip_j\hat{e_k}
\]
\[
m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}\Rightarrow m\ddot{\mathbf{x_i}}=F_i
\]
平面极坐标系¶
\[
\hat{e_r}=\cos \theta\hat{e_1}+\sin \theta\hat{e_2}\Rightarrow \dot{\hat{e_r}}=\dot{\theta}\hat{e_{\theta}}
\]
\[
\hat{e_{\theta}}=-\sin \theta \hat{e_1}+\cos \theta\hat{e_2}
\Rightarrow \dot{\hat{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\hat{e_r}
\]
\[
\mathbf{r} = r \hat{e}_r\Rightarrow \dot{\mathbf{r}}=\dot{r} \hat{e}_r + r \dot{\theta} \hat{e}_\theta
\]
\[
\Rightarrow\ddot{\mathbf{r}}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}) \hat{e}_\theta
\]
\[
\mathbf{p} = m \dot{\mathbf{r}}\Rightarrow\mathbf{p} = m \dot{r} \hat{e}_r + m r \dot{\theta} \hat{e}_\theta
\]
\[
\mathbf{J} = m r^2 \dot{\theta}\hat{e_z}
\]
\[
T=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}=\frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)
\]
\[
m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}\Rightarrow {F_r}=m(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\,,\,{F_{\theta}}=m(r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta})
\]
推论：角动量守恒定律
\[
\frac 1 r\cdot\frac{\rm d}{{\rm d}t}(mr^2\dot{\theta})={F_{\theta}}\overset{结合\mathbf{J}}\Rightarrow\dot{\mathbf{J}}=F_{\theta}r\hat{e_z}
\]
柱坐标系¶
在平面极坐标系的基础上加一个垂直于平面的坐标轴
\[
\mathbf{r} = r \hat{e}_r + z \hat{e}_z
\]
\[
\Rightarrow \dot{\mathbf{r}} = \dot{r} \hat{e}_r + r\dot{\theta} \hat{e}_\theta + \dot{z} \hat{e}_z
\]
\[
\Rightarrow \ddot{\mathbf{r}} =(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r} \dot{\theta}) \hat{e}_\theta+ \ddot{z} \hat{e}_z
\]
\[
\mathbf{p} = m \mathbf{v} = m (\dot{r} \hat{e}_r + r\dot{\theta} \hat{e}_\theta + \dot{z} \hat{e}_z)
\]
\[
\mathbf{J} = m r^2 \dot{\theta} \hat{e}_z + m (z \dot{r} - r \dot{z}) \hat{e}_\theta - m z r \dot{\theta} \hat{e}_r
\]
\[
T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2)
\]
球坐标系¶
\[
\hat{e}_r = \sin\theta \cos\phi \hat{e}_x + \sin\theta \sin\phi \hat{e}_y + \cos\theta \hat{e}_z
\]
\[
\hat{e}_\theta = \cos\theta \cos\phi \hat{e}_x + \cos\theta \sin\phi \hat{e}_y - \sin\theta \hat{e}_z
\]
\[
\hat{e}_\phi = -\sin\phi \hat{e}_x + \cos\phi \hat{e}_y
\]
反向转换
\[
\hat{e}_x = \sin\theta \cos\phi \hat{e}_r + \cos\theta \cos\phi \hat{e}_\theta - \sin\phi \hat{e}_\phi
\]
\[
\hat{e}_y = \sin\theta \sin\phi \hat{e}_r + \cos\theta \sin\phi \hat{e}_\theta + \cos\phi \hat{e}_\phi
\]
\[
\hat{e}_z = \cos\theta \hat{e}_r - \sin\theta \hat{e}_\theta
\]
基矢随时间的变化
\[
\dot{\hat{e}_r} = \dot{\theta} \hat{e}_\theta + \dot{\phi} \sin\theta \hat{e}_\phi
\]
\[
\dot{\hat{e}_\theta} = -\dot{\theta} \hat{e}_r + \dot{\phi} \cos\theta \hat{e}_\phi
\]
\[
\dot{\hat{e}_\phi} = -\dot{\phi} \sin\theta \mathbf{e}_r - \dot{\phi} \cos\theta \mathbf{e}_\theta
\]
推导
逐项求导后，按照\(\,\dot{\phi}\,\)和\(\,\dot{\theta}\,\)整理
球坐标系下，各物理量以及牛顿第二定律的形式并不常用
自然坐标系¶
给出基底：
\[
\overrightarrow{e_{\tau}}=\mathbf{r'}=\frac{\rm d\mathbf{r}}{\rm ds}
\]
\[
\overrightarrow{e_{n}}=\frac{\mathbf{r''}}{|\mathbf{r''}|}
\]
推导
\[
\rm ds=|{\rm d}\mathbf{r}|\Rightarrow |\mathbf{r'}|=1
\]
\[
\mathbf{r'}\cdot\mathbf{r'}=1\Rightarrow \mathbf{r'}\cdot\mathbf{r''}=0\Rightarrow \mathbf{r'}\perp\mathbf{r''}
\]
\[
\overrightarrow{e_{b}}=\overrightarrow{e_{\tau}}\times\overrightarrow{e_{n}}
\]
定义曲率\(\,\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}s}\)
考虑曲率\(\,\kappa\,\)与曲线在直角坐标系下\(\,\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}\),\(\frac{{\rm d^2}y}{{\rm d}x^2}\,\)的关系
第一步：将\(\,\kappa\,\)用\(\,\mathbf{r'}\,\)和\(\,\mathbf{r''}\,\)表示
\[
\kappa = |\mathbf{r'}\times\mathbf{r''}|
\]
推导
\[
|{\rm d}\mathbf{r'}|=|\mathbf{r'}|{\rm d}\theta={\rm d}\theta
\]
\[
\kappa = \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}s}=\frac{|{\rm d}\mathbf{r'}|}{{\rm d}s}=|\mathbf{r''}|
\]
形式上：
\[
\kappa = |\mathbf{r'}\times\mathbf{r''}|
\]
第二步：将\(\,\mathbf{r'}\,\)和\(\,\mathbf{r''}\,\)用\(\,\dot{\mathbf{r}}\,\)和\(\,\ddot{\mathbf{r}}\,\)表示
\[
\mathbf{r'}=\frac{{\rm d}r}{{\rm d}s}=\frac{{\rm d}r/{\rm d}t}{{\rm d}s/{\rm d}t}=\frac{\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|}
\]
\[
\begin{align*}
\mathbf{r''}&=\frac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}s}\\
&=\frac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}t}{{\rm d}s}\\
&=\frac{\ddot{\mathbf{r}}|\dot{\mathbf{r}}|-\dot{\mathbf{r}}|\ddot{\mathbf{r}}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^2}\cdot \frac{1}{|\dot{\mathbf{r}}|}\\
&=\frac{\ddot{\mathbf{r}}|\dot{\mathbf{r}}|-\dot{\mathbf{r}}|\ddot{\mathbf{r}}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3}
\end{align*}
\]
第三步：将\(\,\kappa\,\)用\(\,\dot{\mathbf{r}}\,\)和\(\,\ddot{\mathbf{r}}\,\)表示
\[
\kappa = \frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot{\mathbf{r}}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3}
\]
第四步:将\(\,\mathbf{r}\,\)写成分量的形式，并整理\(\,\kappa\)
\[
\dot{\mathbf{r}}=(\dot x,\dot y, 0)
\]
\[
\ddot{\mathbf{r}}=(\ddot x,\ddot y, 0)
\]
\[
\begin{align*}
\kappa&=|\dot x\ddot y - \ddot x\dot y|({\dot x}^2+{\dot y}^2)^{-\frac{3}{2}}\\
&=\frac{1}{|\dot x|}(\frac{\dot x\ddot y - \ddot x\dot y}{{\dot x}^2})(1+(\frac{\dot y}{\dot x})^2)^{-\frac{3}2}\\
&=|\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}|\cdot |\frac{{\rm d}(\frac{y}{x})}{{\rm d}t}|\cdot (1+(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})^2)^{-\frac 3 2}\\
&=\frac{|\frac{{\rm d^2}y}{{\rm d}x^2}|}{[1+(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})^2]^{\frac{3}{2}}}
\end{align*}
\]
坐标系基底随时间的变化关系
\[
\dot {\overrightarrow {e_{\tau}} }=\dot{\theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}
\]
\[
\dot {\overrightarrow {e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\,\overrightarrow{e_{\tau}}
\]
牛顿第二定律
\[
\mathbf{v}=v\overrightarrow{e_\tau}
\]
\[
\begin{align*}
\dot{\mathbf{v}}&=\dot{v}\overrightarrow{e_\tau}+v\dot {\overrightarrow {e_{\tau}} }\\
&=\dot{v}\overrightarrow{e_\tau}+v\dot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} \\
&=\dot{v}\overrightarrow{e_\tau}+v\cdot\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}s}\cdot\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\overrightarrow{e_{\theta}} \\
&=\dot{v}\overrightarrow{e_\tau}+\frac{v^2}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}
\end{align*}
\]
\[
\Rightarrow \mathbf{F_\tau}=m\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\text{，}\mathbf{F_n}=m\frac{v^2}{\rho}
\]
简谐振子¶
粒子在电磁场中的运动¶
纯电场¶
纯磁场¶
用自然坐标系分析 vs 直角坐标系？
极坐标求解时，\(r\,\)恒定只是一种解的形式
要加强电场与磁场复合场时的计算练习
拉莫尔进动¶
匀强磁场中，电子所受的外力矩为
\[
\mathbf{M}=\mathbf{p}_m\times\mathbf{B}
\]
其中，
\[
\mathbf{p}_m=\frac{-e}{2m}\mathbf{J}
\]
由角动量定理，可得：
\[
\begin{align*}
\dot{\mathbf{J}}&=M\\
&=\frac{-e}{2m}\mathbf{J}\times\mathbf{B}\\
&=\frac{e}{2m}\mathbf{B}\times\mathbf{J}\\
\end{align*}
\]
因此：
\[
\mathbf{J}\cdot\dot{\mathbf{J}}=0\text{，}\mathbf{B}\cdot\dot{\mathbf{J}}=0
\]
\[
\Rightarrow \frac{{\rm d}{\mathbf{J}}^2}{{\rm d}t}=0\text{，}\frac{{\rm d}(\mathbf{J}\cdot\mathbf{B})}{{\rm d}t}=0
\]
角动量的大小不变，且角动量与磁场方向夹角不变，可推出电子的角动量\(\,\mathbf{J}\,\)绕磁场旋转
角频率是\(\,\omega_e=\frac{e}{2m}|\mathbf{B}|\)
有心力场中的开普勒问题¶
平方反比力下\(\,r\,\)和\(\,\theta\,\)的关系¶
Step1:找到不变量\(\,\mathbf{J}\)
根据有心力的特性，\(\mathbf{r}\times\mathbf{F}=0\)
Step2:将运动化简为平面
$$ \mathbf{r}\cdot \mathbf{J}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times \mathbf{P})=0 $$ 又因为\(\,\mathbf{J}\)是常量，可以认为物体的运动在一个固定垂直\(\,\mathbf{J}\)的平面上
Step3:\(\,u,\theta \rightarrow r,\theta \rightarrow 找出通解\) 根据极坐标牛顿第二定律：
\[
\mathbf{F_r}=m(\ddot{\mathbf{r}}-\mathbf{r}{\dot{\mathbf{\theta}}^2 })
\]
\[
\mathbf{F_\theta}=m(2\dot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{\theta}}+\mathbf{r}\ddot{\mathbf{\theta}})
\]
最终得到：
\[
\frac{J^2}{m}u^2(\frac{{\rm d^2}u}{{\rm d}\theta^2}+u)=-\overline F(u)
\]
Step4:代入平方反比力的具体形式 根据：
\[
F=-\alpha u^2
\]
得到：
\[
r=\frac{\frac{J^2}{\alpha m}}{1+\frac{AJ^2}{\alpha m\cos(\theta-\theta_0)}}
\]
龙格楞次矢量¶
R的形式为：
\[
\mathbf{R}=\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\alpha m \hat{\mathbf{r}}
\]
性质：
\[
\frac{{\rm d}\mathbf{R}}{{\rm d}t} = 0
\]
推导思路
运用到的公式：
\[
(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}
\]
运用到的\(\,\mathbf{r}\,\)的性质： $$ \mathbf{r}\cdot{\dot{\mathbf{r}}}=r\dot{r} $$
\[
\dot{\hat{\mathbf{r}}}=\frac{\dot{\mathbf{r}}}{r}-\frac{\dot{r}}{r^2}\mathbf{r}
\]
$$
\mathbf{R}\cdot\mathbf{J}=(\mathbf{p}\times\mathbf{J})\cdot\mathbf{J}-\alpha m \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{J}=0
$$
故\(\,\mathbf{R}\,\)在垂直角动量的平面内，与\(\,\mathbf{r}\,\)共面
从原点指向近地点的方向（后会说明）
R的运用：
\[
\begin{align*}
rR\cos\theta&=\mathbf{r}\cdot\mathbf{R}\\
&=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times \mathbf{J})-\mathbf{r}\cdot \alpha m\hat{\mathbf{r}}\\
&=\mathbf{J}\cdot(\mathbf{r}\times \mathbf{p})-\mathbf{r}\cdot \alpha m\hat{\mathbf{r}}\\
&=J^2-\alpha m r
\end{align*}
\]
用到的公式
\[
\mathbf(a)\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf(c)\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf(b)\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})
\]
$$
\Rightarrow r = \frac{J^2}{m\alpha+R\cos\theta}=\frac{p}{1+e\cos\theta}
$$
其中，\(p=\frac{J^2}{m\alpha}\,\),\(\,e=\frac{R}{m\alpha}\)
\(\theta=0\,\)时，\(r\,\)最小；同时此时\(\,\mathbf{R}\,\)与\(\,\mathbf{r}\,\)同向，所以\(\,\mathbf{R}\,\)的方向是从原点指向近地点的方向
R的意义，确定参数与R的关系：
\[
\begin{align*}
\mathbf{R}^2&=\mathbf{R}\cdot\mathbf{R}\\
&=(\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\alpha m \hat{\mathbf{r}})\cdot (\mathbf{p}\times\mathbf{J}-\alpha m \hat{\mathbf{r}})\\
&=(\mathbf{p}\times\mathbf{J})^2-2\alpha m \hat{\mathbf{r}}\cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{J})+{\alpha}^2m^2\\
&=p^2J^2+0-2m\alpha\frac{J^2}{r}+{\alpha}^2m^2\\
&=2mJ^2(\frac{p^2}{2m}-\frac{\alpha}{r})+{\alpha}^2m^2\\
&=2mJ^2E+{\alpha}^2m^2
\end{align*}
\]
其中，E是机械能
运用的公式
\[
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})
\]
\[
\Rightarrow R=\sqrt{2mJ^2E+{\alpha}^2m^2}
\]
\[
\Rightarrow e=\frac{R}{m\alpha}=\sqrt{\frac{2J^2E}{m{\alpha}^2}+1}
\]
因此，能量决定轨道形状
\[
\begin{align*}
&E<0\,,\,e<1\,,\,椭圆\\
&E=0\,,\,e=1\,,\,抛物线\\
&E>0\,,\,e>1\,,\,双曲线\\
\end{align*}
\]
有心力场中的散射问题¶
step1:\(\,\sigma\sim\Omega\)¶
\[
{\rm d}\sigma=2\pi b{\rm d}b=2\pi b\frac{{\rm d}b}{{\rm d}\theta}{\rm d}\theta
\]
由立体角的知识：
\[
{\rm d}\Omega=\frac{{\rm d}S}{r^2}=\frac{2\pi r\sin\theta\cdot r{\rm d}\theta}{r^2}=2\pi\sin\theta{\rm d}\theta
\]
\[
\Rightarrow {\rm d}\sigma=b|\frac{{\rm d}b}{{\rm d}\theta}|\frac{{\rm d}\Omega}{\sin\theta}
\]
step2:利用龙格楞次守恒量解决问题¶
对于排斥力，龙格楞次矢量为：
\[
\mathbf{R}=\mathbf{p}\times\mathbf{J}+m\alpha \hat{\mathbf{r}}
\]
初始状态的动量和角动量：
\[
\mathbf{p}=mv_{\infty}\mathbf{e_i}
\]
$$ \mathbf{J}=mv_{\infty}b\mathbf{e_k} $$ 其中，\(\mathbf{e_k}\,\)表示垂直于平面向内的单位矢量
初末状态的龙格楞次矢量：
\[
\mathbf{R_i}=m^2{v_{\infty}}^2b\mathbf{n_i}-m\alpha\mathbf{e_i}
\]
\[
\mathbf{R_f}=m^2{v_{\infty}}^2b\mathbf{n_f}+m\alpha\mathbf{e_f}
\]
由于龙格楞次矢量是守恒量，有：
\[
\mathbf{R_i}=\mathbf{R_j}
\]
思想
两边点乘\(\,mathbf{e_i}\)
\[
\Rightarrow b^2 = \frac{\alpha^2}{m^2v_{\infty}^4}\cot^2\frac{\theta}{2}
\]
整理可得：
\[
{\rm d}\sigma=(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^2})^2\frac{{\rm d}\Omega}{\sin^4\frac{\theta}{2}}
\]
最速落径问题和变分法¶
变分性质：
1.
\[
\delta(af+bg)=a\delta f+b\delta g
\]
\[
\delta(fg)=f\delta g+g\delta f
\]
\[
\delta(\frac{f}{g})=\frac{g\delta f-f\delta g}{g^2}
\]
\[
\delta x = 0
\]
2.
\[
[\delta, {\rm d}]=0
\]
推导
\[
\begin{align*}
\delta y(x+{\rm d}x)&=(\delta y)(x+{\rm d}x)
&=(y_2-y_1)(x+{\rm d}x)\\
&=y_2(x+{\rm d}x)-y_1(x+{\rm d}x)\\
&=y_2(x)+{\rm d}(y_2(x))-y_1(x)-{\rm d}(y_1(x))\\
&=(y_2(x)-y_1(x))+{\rm d}(y_2(x)-y_1(x))\\
&=\delta y (x)+{\rm d}\delta y(x)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\delta y(x+{\rm d}x)&=\delta(y(x+{\rm d}x))\\
&=\delta(y(x)+{\rm d}y(x))\\
&=\delta y(x)+\delta{\rm d} y(x)
\end{align*}
\]
根据两个式子的最后一项，联立可得：\(\,[\delta,{\rm d}]=0\)
根据变分算符和微分算符的可对易性：
\[
\delta({\rm d}x)={\rm d}\delta x=0
\]
\[
\delta(\frac{\rm d}{{\rm d}x})y=\delta(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})=\frac{\delta{\rm d}y\cdot{\rm d}x-{\rm d}y\cdot\delta{\rm d}x}{({\rm d}x)^2}=\frac{\rm d}{{\rm d}x}(\delta y)
\]